Question

【題目】設函數有兩個極值點.

（1）求實數的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數求導，設，令，得，可得（1），分類討論，①當，無極值，不合題意，舍去；②當，，為的兩個極值點，符合題意．可得的范圍;（2）不妨設，由，可得，可求．即可得證．

（1），

設，則，

令，得：，可得：，，遞增；，，遞減．

（1），

①當，即時，，即，所以，遞減，無極值，不合題意，舍去；

②當，即時，則（1），

，，

（1），

在有唯一零點，

又，且

設（a），（a），

（a）在上遞增，

（a）．

（1），

在有唯一零點，

從而，，，遞減；，，，遞增；，，，遞減；

所以，，為的兩個極值點，符合題意．

綜上，，

（2）證明：不妨設，，

由，有，

．得證．