Question

【題目】已知橢圓的上頂點為點，右焦點為.延長交橢圓于點，且滿足.

（1）試求橢圓的標準方程；

（2）過點作與軸不重合的直線和橢圓交于兩點，設橢圓的左頂點為點，且直線分別與直線交于兩點，記直線的斜率分別為，則與之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，試說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 與之積為定值，且該定值是

【解析】試題分析:(1)，可得,將坐標代入求出點E,代入橢圓方程,結合焦點坐標可得橢圓方程;(2) 設，,設出直線AB的方程,與橢圓方程聯立,消去y得到關于x的一元二次方程并寫出韋達定理,根據三點共線得出M,N的坐標,求出與之積得出定值.

試題解析:

（1）橢圓的上頂點為，右焦點，點的坐標為.

∵，可得，

又，，

∴代入可得，

又，解得，，

即橢圓的標準方程為.

（2）設，，，，.

由題意可設直線的方程為，

聯立消去，

得，

∴

根據三點共線，可得，

∴.

同理可得，

∴的坐標分別為，，

∴

.

∴與之積為定值，且該定值是.

點睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．