Question

【題目】已知橢圓： （）的兩個焦點為， ，離心率為，點， 在橢圓上， 在線段上，且的周長等于．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過圓： 上任意一點作橢圓的兩條切線和與圓交于點， ，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）取最大值.

【解析】試題分析：（1）由的周長為可得，由離心率得，進而的橢圓的標準方程；（2）先根據韋達定理證明兩切斜線斜率積為，進而得兩切線垂直，得線段為圓的直徑， ，然后根據不等式及圓的幾何意義求的最大值．

試題解析：（1）由的周長為，得， ，由離心率，得， ．所以橢圓的標準方程為： ．

（2）設，則．

（ⅰ）若兩切線中有一條切線的斜率不存在，則， ，另一切線的斜率為0，從而．此時， ．

（ⅱ）若切線的斜率均存在，則，設過點的橢圓的切線方程為，

代入橢圓方程，消并整理得： ．

依題意， ．

設切線， 的斜率分別為， ，從而，即．

線段為圓的直徑， ．

所以，

當且僅當時， 取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得： 最大值是4．