Question

【題目】已知函數 的值域為R，則常數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣1，1]∪[2，3）
B.（﹣∞，1]∪[2，+∞）
C.（﹣1，1）∪[2，3）
D.（﹣∞，0]{1}∪[2，3）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函數 ，

當x＜1時，f（x）=1﹣x2≤1，

∴x≥1時，f（x）= 的最小值小于1，

因為y=x2﹣2ax+3a的開口向上，對稱軸為x=a，

若a≤1，當x≥1時，函數是增函數，最小值為f（1）=log2（1+a），可得log2（1+a）≤1，解得a∈（﹣1，1]；

若a＞1，最小值為 ，可得 ，解得a∈[2，3），

常數a的取值范圍是（﹣1，1]∪[2，3），

所以答案是：A．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．