Question

【題目】已知數列 的首項 ，前n項和為 ，且 .
（1）證明數列 是等比數列；
（2）令 ，求函數 在點x＝1處的導數 ，并比較 與 的大小.

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知 ，

∴ 時， ，

①②兩式相減，得

，

即 ，

從而 .

當n＝1 時， ，

∴ .

又 ，故 ，

從而 .

故總有 .

又∵ ，∴ ，從而 ，

即 是以 為首項，2為公比的等比數列.

（2）證明：由(1)可知 .

∵ ，

∴ .

從而

.

則

. (*)

當n＝1時，(*)式＝0，

∴ ；

當n＝2 時，(*)式＝－12＜0，

∴ ；

當 時， ，

又 ，

∴ ，

即(*)式＞0，從而 .

【解析】本題主要考查了比較法證明不等式，解決問題的關鍵是根據在比較大小時，作差法的差式與“n”的取值有關，且大小關系隨“n”的變化而變化. 此類比較大小的題是典型的結論不唯一的題.在數列中，大小問題可能會隨“n”變化而變化.往往n＝1，2，…，前幾個自然數對應的值與后面 的值大小不一樣，這就要求在解答這樣的題時，要時刻有“大小關系不一定唯一”的念頭，即時刻提醒自己所求解的問題是否需要討論.