Question

【題目】用反證法證明：已知a，b均為有理數，且 和 都是無理數，求證： 是無理數.

Answer 1

【答案】【解答】
證明：證法一：假設 為有理數，令 =t ，
則 ，兩邊平方，得 ，
∴ .
∵a ， b ， t均為有理數，∴ 也是有理數.
即 為有理數，這與已知 為無理數矛盾.
∴ 一定是無理數.
證法二：假設 為有理數，
則 .
由 a>0.b>0 ，得 .
∴ .
∵a ， b為有理數，且 為有理數，
∴ 為有理數，即 為有理數.
∴ 為有理數，即 2 為有理數.
從而 也應為有理數，這與已知 為無理數矛盾，
∴ 一定是無理數.
【解析】本題主要考查了反證法與放縮法，解決問題的關鍵是按反證法的步驟，即先否定結論，把假設和已知結合起來，推出矛盾，即假設不成立；結論為肯定形式或者否定形式的命題的證明常用反證法，通過反設將肯定命題轉化為否定命題或將否定命題轉化為肯定命題，然后用轉化后的命題作為條件進行推理，很一般推出矛盾，從而達到證題的目的.
【考點精析】掌握反證法與放縮法是解答本題的根本，需要知道常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項②將分子或分母放大（縮小)．