Question

【題目】已知函數是定義在區間上的奇函數，且，若對于任意的m，有.

(1)判斷函數的單調性（不要求證明）；

(2)解不等式；

(3)若對于任意的，恒成立，求實數t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)函數在區間上是減函數；(2)；(3).

【解析】

（1）設，化簡得到，結合函數的單調性的定義，即可得到結論；

（2）由(1)知函數在區間上是減函數，根據，列出不等式組，即可求解不等式的解集；

(3)要使得對于任意的，都有恒成立，只需對任意的，恒成立，再結合關于a的一次函數的性質，即可求解.

（1）函數在區間上是減函數.

證明：由題意可知，對于任意的m，有，

設，則，即，

當時，，所以函數在上為單調遞減函數；

當時，，所以函數在上為單調遞減函數，

綜上，函數在上為單調遞減函數.

（2）由(1)知函數在區間上是減函數，

因為，可得，解得解得，

所以不等式的解集為.

(3)因為函數在區間上是減函數，且，

要使得對于任意的，都有恒成立，

只需對任意的，恒成立.

令，此時y可以看作a的一次函數，且在時，恒成立.

因此只需，解得解得，

所以實數t的取值范圍為.