Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）如果恒成立，求實數的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）1.

【解析】

（Ⅰ）求得 ，利用導數證明 在區間上單調遞增， 從而可得；（Ⅱ）討論三種情況：當時，由（Ⅰ）知符合題意；當時，因為，先證明在區間上單調遞增，可得符合題意；當時，存在唯一使得，任意時，，不合題意，綜合即可得結果.

（Ⅰ）因為，所以 .

當時，恒成立，所以 在區間上單調遞增，

所以.

（Ⅱ）因為，

所以.

①當時，由（Ⅰ）知，對恒成立；

②當時，因為，所以.

因此在區間上單調遞增，

所以對恒成立；

③當時，令，則，

因為，所以恒成立，

因此在區間上單調遞增，

且，

所以存在唯一使得，即.

所以任意時，，所以在上單調遞減.

所以，不合題意.

綜上可知，的最小值為1.