Question

【題目】已知.

（1）討論的單調性；

（2）當時, 證明對于任意的成立.

Answer 1

【答案】（1）當時,在內單調遞增,在內單調遞減, 當時,在內單調遞增,在內單調遞減,在內單調遞增,當時,在內單調遞增, 當時,在內單調遞增,在內單調遞減, 在單調遞增；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出原函數的導函數，然后對分類分析導函數的符號，由導函數的符號確定原函數的單調性；

（2）構造函數，令，．則

，利用導數分別求與的最小值得到恒成立．由此可得對于任意的成立．

試題解析：（1）的定義域為,當時, 時, 單調遞增, 時, 單調遞減, 當時,.

①時,, 當或時, 單調遞增, 當時, 單調遞減.

②時,, 在內, 單調遞增.

③當時,, 當或時, 單調遞增, 當時, 單調遞減.

綜上所述, 當時, 在內單調遞增, 在內單調遞減, 當時, 在內單調遞增, 在內單調遞減, 在內單調遞增, 當時, 在內單調遞增, 當時, 在內單調遞增, 在內單調遞減, 在單調遞增.

（2）證明: 由（1）知時,

,

設,則,

由,可得,當且僅當時取得等號, 又,

設,則在單調遞減, 因為,

使得時, 時, 在內單調遞增, 在內單調遞減, 由,可得,當且僅當時取得等號, 所以,即對于任意的成立.