Question

 

 (本小題15分)

已知函數.

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；

（Ⅲ）設函數，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數 的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

.解：（Ⅰ）當時，函數， ．         　　　　　　　　　　　    

，  _K^S*5U.C#

曲線在點處的切線的斜率為．    …………2分

從而曲線在點處的切線方程為，

即．                                                 ………3分                   

（Ⅱ）．                          …………4分

令，要使在定義域內是增函數，只需在內恒成立.                                          ……………5分

由題意＞0，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，

只需，即，

∴在內為增函數，正實數的取值范圍是.       ………7分

    也可用分離參數法挺好

（Ⅲ）∵在上是減函數，

  ∴時，； 時，，即， ……8分

①當＜0時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側，且，∴ 在內是減函數．_K^S*5U.C#

當時，，因為，所以＜0，＜0，

    此時，在內是減函數．   

故當時，在上單調遞減，不合題意…10分

②當0＜＜1時，由，

所以．

又由（Ⅱ）知當時，在上是增函數，

 ∴＜，不合題意； ……………12分

③當時，由（Ⅱ）知在上是增函數，，

又在上是減函數，_K^S*5U.C#

故只需＞，，

而，，即  ，

  解得＞ ，所以實數的取值范圍是.    ……15分

 

【解析】略