Question

已知數列{a_n}是正項等比數列，若a₁=32，a₄=4，則數列{log₂a_n}的前n項和S_n的最大值為

15

．

Answer 1

分析：根據題意結合等比數列的通項公式，可得a_n=2^6-n，再取以2為底的對數得log₂a_n=6-n，得到{log₂a_n}是以5為首項，公差為-1的等差數列，利用等差數列的求和公式并結合二次函數在正整數范圍內求最值，可得本題的答案．

解答：解：設等比數列的公比為q
∵等比數列中，a₁=32，a₄=4，
∴q³=

a4

a1

=

1

8

，得q=

1

2

，所以等比數列的a_n=32×（

1

2

）^n-1=2^6-n，
由此可得log₂a_n=6-n，數列{log₂a_n}構成以5為首項，公差為-1的等差數列
∴數列{log₂a_n}的前n項和S_n=5n-

n(n-1)

2

=

1

2

（-n²+11n）
∵n∈N^*，∴當n=5或6時，S_n的最大值為15
故答案為：15

點評：本題給出等比、等差數列模型，求一個數列前n項和的最大值，著重考查了等比數列、等差數列的通項與求和等知識，屬于中檔題．