Question

已知函數。
（1）求函數的定義域，并證明在定義域上是奇函數；
（2）對于x∈[2，6]，恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）當n∈N*時，試比較f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）與2n+2n²的大小關系。

Answer 1

解：（1）由解得x＜-1或x>1，
∴函數的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時


∴在定義域上是奇函數。
（2）當x∈[2，6]時
恒成立
∴
∵x∈[2，6]，
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈ [2，6]，
由二次函數的性質可知x∈[2，3]時函數單調遞增，x∈[3，6]時函數單調遞減，
x∈[2，6]時，g（x）_min=g（6）=7，
∴0＜m＜7。
（3）f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）==ln（2n+1）
構造函數h（x）=ln（1+x）-（x＞0）

當x>0時，h'（x）＜0
∴在（0，+∞）單調遞減，
∴h（x）＜h（0）=0；
當x=2n（n∈N*）時，ln（1+2n）-（2n+2n²）＜0，
∴ln（1+2n）＜2n+2n²。