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已知拋物線，直線與E交于A、B兩點，且，其中O為原點.
（1）求拋物線E的方程；
（2）點C坐標為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

（1）；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題考查拋物線的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的數量積等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，將直線與拋物線方程聯立，消去參數，得到關于的方程，得到兩根之和兩根之積，設出點的坐標，代入到中，化簡表達式，再將上述兩根之和兩根之積代入得出的值，從而得到拋物線的標準方程；第二問，先利用點的坐標得出直線的斜率，再根據拋物線方程轉化參數，得到和的關系式，代入到所求證的式子中，將上一問中的兩根之和兩根之積代入，化簡表達式得出常數即可.
試題解析：（Ⅰ）將代入，得．    2分
其中
設，，則
，．          4分
．
由已知，，．
所以拋物線的方程．          6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
，同理，     10分
所以．    12分
考點：1.拋物線的標準方程；2.韋達定理；3.向量的數量積；4.直線的斜率公式.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設點、分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為.
（I）求橢圓的方程;
（II）設直線（直線、不重合）,若、均與橢圓相切，試探究在軸上是否存在定點,使點到、的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知是橢圓的右焦點；圓與軸交于兩點，其中是橢圓的左焦點.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設圓與軸的正半軸的交點為，點是點關于軸的對稱點，試判斷直線與圓的位置關系；
（3）設直線與圓交于另一點，若的面積為，求橢圓的標準方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為的正方形（記為）
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設點是直線與軸的交點，過點的直線與橢圓相交于兩點，當線段的中點落在正方形內（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓C：，若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(I)求橢圓C的方程；
(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足且=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點分別為，橢圓的離心率為，且橢圓C經過點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若線段是橢圓過點的弦，且，求內切圓面積最大時實數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（13分）如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應如何設計拱高h和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）
（3）為了使隧道內部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓錐曲線的兩個焦點坐標是，且離心率為；
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點，求的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果，且曲線上存在點，使，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點為，，且經過點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過的直線與橢圓交于、兩點，問在橢圓上是否存在一點，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

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