Question

【題目】定義在R上的函數f（x）對一切實數x、y都滿足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y），已知f（x）在（0，+∞）上的值域為（0，1），則f（x）在R上的值域是（ ）
A.R
B.（0，1）
C.（0，+∞）
D.（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：因為定義在R上的函數f（x）對一切實數x、y都滿足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y），
令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0），
解得f（0）=1
再令y=﹣x，則可得f（0）=f（x）f（﹣x）=1，
又f（x）在（0，+∞）上的值域為（0，1），
所以f（x）在（﹣∞，0）上的值域為（1，+∞）
綜上，f（x）在R上的值域是R
故選A．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．