Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求證：當時，的圖象位于直線上方；

（Ⅱ）設函數，若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（為坐標原點），求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）轉化為當時，恒成立，令，求得和，結合函數的單調性，求得，進入得到，即可得到結論.

（Ⅱ）設，由，解得，得到，所以，進而得到要證，轉化為，構造新函數，求得函數的單調性與最值，即可求解.

（Ⅰ）由題意，當時，的圖象位于直線上方，

即證當時，恒成立，

令，可得，則，

所以在上單調遞增，

所以，所以在上單調遞增，所以，

所以當時，的圖象始終在直線上方．

（Ⅱ）因為，則，

設，則，所以，

所以，所以，所以．

要證，

即證，即證，即證，

下面證明．令，∴，

所以當，，，，

所以在單調遞減，在單調遞增，

所以，即，

所以，．