Question

【題目】已知數列的前項和為，且，數列是公差為0的等差數列，且滿足，是和的等比數列.

（1）求數列和的通項公式；

（2）求；

（3）設數列的通項公式，求；

Answer 1

【答案】（1），.（2）.（3） .

【解析】

（1）利用兩式()， ()相減得到()，再根據等比數列的通項公式可得，根據求得等差數列的公差，再根據等差數列的通項公式可得；

（2）根據裂項求和可得結果；

（3）由的通項公式分析可知，數列的前項中，有項的值不為1，它們是，，，，，其余的項的值都為1，由此可得，然后利用等比數列的前項和公式可得結果.

（1）因為()，所以()，

兩式相減，整理得：，

又當時，，，

所以()，

所以是以6為首項，3為公比的等比數列，

.

設等差數列的公差為，

因為，是和的等比中項，

所以，即，

整理得，

解得或，因為公差不為0，

所以，

故.

（2）因為，

所以.

（3）因為，，

所以數列的前項中，有項的值不為1，它們是，，，，，其余的項的值都為1，

所以

.