Question

【題目】已知函數，．

（1）若直線與函數的圖象相切，求實數的值；

（2）若存在，，使，且，求實數的取值范圍；

（3）當時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由f′（x0）．可得切線方程為：y＝（）x+lnx0，與直線y＝2x完全相同，可得＝2，lnx0＝0．即可得出a．

（2）設t（x）＝ex﹣x，x∈R．t′（x）＝ex﹣1，利用導數研究其單調性可得0是函數t（x）的極小值點，可得．再由g（x2）＝0，解得x2，可得x1的范圍．從而問題可轉化為函數f（x）＝lnx﹣ax+1在x∈（1，+∞）上有零點．由f′（x）a．對a分類討論，研究其單調性即可得出．

（3）構造函數F（x）＝x2+g（x）﹣f（x），利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

（1）設切點坐標為，

由，得，

所以切線方程為：，

即.

因為直線與函數的圖象相切，

所以，解得.

（2）設，則，令，得，

且當時，：當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在時取得極小值為0，即.

由，可得，

所以即為，

由題意可得：函數在上有零點.

因為，

當時，，函數在上單調遞增，

所以，函數在上無零點：

當時，令，得.

①若，即時，在上恒成立，

所以函數在上單調遞減，

所以，函數在上無零點：

②若，即時，

當時，：當時，.

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，

因為，所以函數在上無零點：

又，

令，

則在上恒成立，

所以在上單調遞增，

所以，即，

所以，且在的圖象連續不斷，

所以函數在上有且只有一個零點，

即函數在上有零點.

綜上所述，.

（3）當時，，

令 ，

則，

令，則當時，，

所以函數在區間上是增函數，

又，，

所以函數存在唯一的零點，

且當時，；當時，.

所以當時，；當時，.

所以函數在上遞減，在上遞增，

故，

由得：，

兩邊取對數得：，故，

所以，即.