Question

【題目】(1)．選修4—1：幾何證明選講

如圖，CD是圓O的切線，切點為D，CA是過圓心O的割線且交圓O于點B，DA＝DC．求證： CA＝3CB．

(2)．選修4—2：矩陣與變換

設二階矩陣A＝．

（Ⅰ）求A－1；

（Ⅱ）若曲線C在矩陣A對應的變換作用下得到曲線C：6x2－y2＝1，求曲線C的方程．

(3)．選修4—4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），圓C的參數方程為（θ為參數）．若直線l與圓C相切，求實數a的值．

(4)．選修4—5：不等式選講

解不等式：|x－2|＋|x＋1|≥5．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（Ⅰ）（Ⅱ）8y2－3x2＝1（3）1±（4）(－∞，－2]∪[3，＋∞).

【解析】試題分析：（1）連接， , 為圓的切線， ， 從而,可得，進而可得結果；（2）曲線上任意一點在矩陣對應的變換作用下得到點， ，代入，即可得結果；（3）先求直線的普通方程與圓的普通方程，利用圓心到直線的距離等于半徑可得結果；（4）分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集即可得結果.

試題解析：（1）證明：連接OD，因為DA=DC，

所以∠DAO=∠C．

在圓O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，

所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．

因為CD為圓O的切線，所以∠ODC=90°，

從而DOC＋C＝90°，

即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，

所以OC＝2OD＝2OB，

所以CB＝OB，所以CA＝3CB．

（2）（Ⅰ）根據逆矩陣公式，可得A－1＝．

（Ⅱ）設曲線C上任意一點P(x，y)在矩陣A對應的變換作用下得到點P (x，y)，

則＝＝，所以

因為(x，y)在曲線C上，所以6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化簡得8y2－3x2＝1，

所以曲線C的方程為8y2－3x2＝1

（3）由直線l的參數方程為，得直線l的普通方程為x－y＋1＝0．

由圓C的參數方程為，得圓C的普通方程為(x－a)2+(y－2a)2＝1．

因為直線l與圓C相切，所以＝1，

解得a＝1±．

所以實數a的值為1±．

（4）(1)當x＜－1時，不等式可化為－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；

(2)當－1≤x≤2時，不等式可化為－x＋2＋x＋1≥5，此時不等式無解；

(3)當x＞2時，不等式可化為x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；

所以原不等式的解集為(－∞，－2]∪[3，＋∞).