Question

【題目】卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內與兩個定點（叫焦點）的距離之積等于常數的點的軌跡．某同學類比橢圓與雙曲線對卡西尼卵形線進行了相關性質的探究，設F1（﹣c，0），F2（c，0）是平面內的兩個定點，|PF1||PF2|＝a2（a是常數）．得出卡西尼卵形線的相關結論：①該曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；②若a＝c，則曲線過原點；③若0＜a＜c，其軌跡為線段．其中正確命題的序號是_____．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

設，得到 ，得到，再對三個選項加以驗證，即可求解，得到答案.

由題意設P（x，y），則，

即[（x+c）2+y2][（x﹣c）2+y2]＝a4，

對于①中，因為把方程中的x被﹣x代換，方程不變，故此曲線關于y軸對稱；

把方程中的y被﹣y 代換，方程不變，故此曲線關于x軸對稱；

把方程中的x被﹣x代換，y被﹣y 代換，方程不變，

故此曲線是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，所以是正確的．

對于②中，若a＝c，（0，0）代入，方程成立則曲線過原點，所以是正確的；

對于③中，因為（|PF1|+|PF2|）min＝2c，（當且僅當，|PF1|＝|PF2|＝c時取等號），

所以（|PF1||PF2|）min＝c2，所以若0＜a＜c，則曲線不存在，所以不正確．

故答案為：①②