Question

在平面直角坐標系中，動點滿足：點到定點與到軸的距離之差為.記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點的直線交曲線于、兩點，過點和原點的直線交直線于點，求證：直線平行于軸.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由點到定點與到軸的距離之差為可得，即，化簡可得軌跡方程為；

（2）方法一：設，直線的方程為，聯立 得，求出直線的方程為 點的坐標為利用斜率可得 直線平行于軸；

方法二：設的坐標為，則的方程為點的縱坐標為，

直線的方程為點的縱坐標為所以軸；當時，結論也成立，直線平行于軸得證.

.

試題解析：（1）依題意： 2分

4分

6分

注：或直接用定義求解.

（2）設，直線的方程為

由 得 8分

直線的方程為 點的坐標為 10分

直線平行于軸. 13分

方法二：設的坐標為，則的方程為

點的縱坐標為，

直線的方程為

點的縱坐標為.

軸；當時，結論也成立，

直線平行于軸.

考點：1.直線與圓錐曲線的綜合問題；2.軌跡方程；3.拋物線的標準方程.