【題目】設
、
分別是橢圓
的左、右焦點，
、
兩點分別是橢圓
的上、下頂點，
是等腰直角三角形，延長
交橢圓于
點，且
的周長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設點
是橢圓上異于、的動點，直線
、
與直線
分別相交于
、
兩點，點
，試問：
外接圓是否恒過
軸上的定點（異于點
）？若是，求該定點坐標；若否，說明理由.
【答案】（1）
；（2）是，且定點坐標為
.
【解析】
（1）利用橢圓的定義可求得
的值，再由
是等腰直角三角形可求得
、
的值，由此可得出橢圓
的方程；
（2）設點
，求出直線
、
的斜率之積為
，設直線的方程為
，可得出直線的方程，進而可求得點
、
的方程，假設
的外接圓過
軸上的定點
，求出的外接圓圓心
的坐標，由
結合兩點間的距離公式可求得
的值，進而可求得定點的坐標.
（1）因為
的周長為
，由定義可得
，
，
所以
，所以
，
又因為是等腰直角三角形，且
，所以
，
所以橢圓的方程為：；
（2）設
，
，則
，
所以直線與的斜率之積
，
設直線的斜率為
，則直線的方程為：，
直線的方程：
，
由
，可得
，同理
，
假設的外接圓恒過定點
，
，
由于線段
的垂直平分線所在直線的方程為
，
線段
的垂直平分線所在直線的方程為
，則其圓心
，
又，所以
，解得
，
所以的外接圓恒過定點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
滿足：對任意
，若
，則
，且
，設
，集合
中元素的最小值記為
；集合
，集合
中元素最小值記為
.
（1）對于數列：
，求，；
（2）求證：
；
（3）求的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于圓周率π，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗，受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計π的值，先請240名同學，每人隨機寫下兩個都小于1的正實數x，y組成的實數對（x，y）；若將（x，y）看作一個點，再統計點（x，y）在圓x2+y2＝1外的個數m；最后再根據統計數m來估計π的值，假如統計結果是m＝52，那么可以估計π的近似值為_______.（用分數表示）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線C：y=
，D為直線y=
上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.
（1）證明：直線AB過定點：
（2）若以E(0，
)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電訊企業為了了解某地區居民對電訊服務質量評價情況，隨機調查100 名用戶，根據這100名用戶對該電訊企業的評分，繪制頻率分布直方圖，如圖所示，其中樣本數據分組為
，
，……
.
（1）估計該地區用戶對該電訊企業評分不低于70分的概率，并估計對該電訊企業評分的中位數；
（2）現從評分在
的調查用戶中隨機抽取2人，求2人評分都在的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】流行病學資料顯示，
歲以上男性靜息心率過高將會增加患心血管疾病的風險，相反，靜息心率相對穩定的到
歲的男性，在未來
年內患心血管疾病的幾率會降低
.研究員們還表示，其中靜息心率超過
（次/分）的人比靜息心率低于
的人罹患心血管疾病的風險高出一倍.某單位對其所有的離、退休老人進行了靜息心率監測，其中一次靜息心率的莖葉圖和頻率分布直方圖如下，其中，頻率分布直方圖的分組區間分別為
、
、
、
、
，由于掃描失誤，導致部分數據丟失.據此解答如下問題：
（1）求此單位離、退休人員總數和靜息心率在
之間的頻率；
（2）現從靜息心率在之間的數據中任取
份分析離、退休人員身體情況，設抽取的靜息心率在的份數為
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
是等比數列，公比大于0，前
項和
，
是等差數列，已知
，
，
，
．
（Ⅰ）求數列，的通項公式
，
；
（Ⅱ）設
的前項和為
（ⅰ）求
；
（ⅱ）若
，記
，求
的取值范圍．
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