Question

【題目】如圖， 是⊙的直徑，點是的中點， 平面， ， ．

（）求證．

（）若點是平面內一動點，且，請在平面內，建立適當的坐標系，求出點的軌跡方程，并求出點在內的軌跡長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）首先由圓的性質可得，由平面易得，由線面垂直判定定理可得面，進而易得；（2）以點為坐標原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，則， ，將用兩點間距離公式可得的軌跡是圓，可求與軸正半軸， 軸正半軸坐標，進而可求，由弧長公式得結果.

試題解析：（）證明：∵為圓的直徑， 在圓周上，∴，

∵平面， 面，∴，

∵，∴面，

∵面，∴，得證．

（）以點為坐標原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸，

建立如圖所示的直角坐標系，則， ．

設動點的坐標， ， ，

∴，

整理可得： ，∴的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，

可求與軸正半軸， 軸正半軸坐標為， ．∴，

∴點在中軌跡長度．