Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設直線y=kx+b與拋物線C交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且|y1﹣y2|=2，過弦AB中點M作平行于x軸的直線交拋物線于點D，求△ABD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標為4的點

到焦點的距離為5，

∴4+ =5，

∴p=2，

∴拋物線C的方程為y2=4x

（2）解：聯立直線y=kx+b與拋物線C得：k2x2+2（kb﹣2）x+b2=0（k≠0），

x1+x2= ，x1x2= ．

|y1﹣y2|=k|x1﹣x2|= =2，

∴4﹣4kb=k2，

∵M（ ， ），D（ ， ），

∴△ABD的面積S= |MD||y1﹣y2|= = ．

【解析】（1）利用拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5，可得p，即可求拋物線C的方程；（2）把直線的方程與拋物線方程聯立可得△＞0及根與系數的關系，再利用三角形的面積公式即可得出．