Question

（1）設a₁，a₂，…，a_n是各項均不為零的n（n≥4）項等差數列，且公差d≠0，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列
（i）當n=4時，求

a1

d

的數值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求證：存在一個各項及公差均不為零的n（n≥4）項等差數列，任意刪去其中的k項（1≤k≤n-3），都不能使剩下的項（按原來的順序）構成等比數列．

Answer 1

分析：（1）（i）當n=4時，數列的公差d≠0，刪去的項只可能為a₂或a₃．分別討論推出數列的情況，然后求解

a1

d

的值．
（ii）當n≥6時，從數列中刪去任意一項后得到的數列，必有原數列中的連續三項，從而這三項既成等差數列又成等比數列，數列的公差必為0，這與題設矛盾．推出數列的項數n≤5．然后討論當n=4，n=5時，滿足題設的數列項數即可．
（2）首先找出一個等差數列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）的首項b₁與公差d'的比值為無理數，則此等差數列滿足題設要求．假設刪去等差數列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）項后，新數列構成等比數列，說明新數列中的連續三項為不滿足題意，然后推出首項b1=

2

+1，公差d^′=1．相應的等差數列

2

+1，

2

+2，

2

+3，…，

2

+n(n≥4)是一個滿足題設要求的數列．

解答：解：首先證明一個“基本事實”
一個等差數列中，若有連續三項成等比數列，則這個數列的公差d₀=0．
事實上，設這個數列中的連續三項a-d₀，a，a+d₀成等比數列，則a²=（a-d₀）（a+d₀），由此得a2=a2-

d

2 0

，故d₀=0．
（1）（i）當n=4時，由于數列的公差d≠0，故由“基本事實“推知，刪去的項只可能為a₂或a₃．
①若刪去a₂，則由a₁，a₃，a₄成等比數列，得(a1+2d)2=a1•(a1+3d)．
因d≠0，故由上式得a₁=-4d，即

a1

d

=-4．此時數列為-4d，-3d，-2d，-d，滿足題設．
②若刪去a₃，則a₁，a₂，a₄由成等比數列，得(a1+d)2=a1•(a1+3d)．
因d≠0，故由上式得a₁=d，即

a1

d

=1．此時數列為d，2d，3d，4d滿足題設．
綜上可知

a1

d

的值為-4或1．
（ii）當n≥6時，則從滿足題設的數列a₁，a₂，a₃，…，a_n中刪去任意一項后得到的數列，必有原數列中的連續三項，從而這三項既成等差數列又成等比數列，故由“基本事實”知，數列a₁，a₂，a₃，…，a_n的公差必為0，這與題設矛盾．所以滿足題設的數列的項數n≤5．
又因題設n≥4，故n=4或n=5．
當n=4時，由（i）中的討論知存在滿足題設的數列．
當n=5時，若存在滿足題設的數列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅則由“基本事實”知，刪去的項只能是a₃，從a₁，a₂，a₄，a₅而成等比數列，故(a1+d)2=a1•(a1+3d)，
及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)．分別化簡上述兩個等式，得a1d=d2及a1d=-5d2，
故d=0．矛盾．因此，不存在滿足題設的項數為5的等差數列．  綜上可知，n只能為4．
（2）我們證明：若一個等差數列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）的首項b₁與公差d'的比值為無理數，
則此等差數列滿足題設要求．
證明如下：
假設刪去等差數列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）項后，
得到的新數列（按原來的順序）構成等比數列，
設此新數列中的連續三項為b₁+m₁d'，b₁+m₂d'，b₁+m₃d'（0≤m₁＜m₂＜m₃≤n-1），于是有(b1+m2d′)2=(b1+m1d′)(b1+m3d′)，化簡得(

m

2 2

-m1m3)d′2=(m1+m3-2m2)b1d′…（*）
由b1d′\not=0知，

m

2 2

-m1m3與m₁+m₃-2m₂同時為零或同時不為零．
若m₁+m₃-2m₂=0，且

m

2 2

-m1m3=0，則有(

m1+m3

2

)2-m1m3=0，
即(m1-m3)2=0，得m₁=m₃，從而m₁=m₂=m₃，矛盾．
因此，m₁+m₃-2m₂與

m

2 2

-m1m3都不為零，故由（*）式得

b1

d′

=

m 2 2 -m1m3

m1+m3-2m2

•…（**）
因為m₁，m₂，m₃均為非負整數，所以（**）式右邊是有理數，
而

b1

d′

是一個無理數，所以（**）式不成立．這就證明了上述結果．
因

2

+1是一個無理數．因此，取首項b1=

2

+1，公差d^′=1．
則相應的等差數列

2

+1，

2

+2，

2

+3，…，

2

+n(n≥4)是一個滿足題設要求的數列．

點評：本題以等差數列、等比數列為平臺，主要考查學生的探索與推理能力．利用基本事實，反證法的應用，找出滿足題意的一個數列是解題的難點也是關鍵點，本題屬難題．