Question

（1）設a₁，a₂，…，a_n是各項均不為零的n（n≥4）項等差數列，且公差d≠0，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列
（i）當n=4時，求的數值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求證：存在一個各項及公差均不為零的n（n≥4）項等差數列，任意刪去其中的k項（1≤k≤n-3），都不能使剩下的項（按原來的順序）構成等比數列．

Answer 1

【答案】分析：（1）（i）當n=4時，數列的公差d≠0，刪去的項只可能為a₂或a₃．分別討論推出數列的情況，然后求解的值．
（ii）當n≥6時，從數列中刪去任意一項后得到的數列，必有原數列中的連續三項，從而這三項既成等差數列又成等比數列，數列的公差必為0，這與題設矛盾．推出數列的項數n≤5．然后討論當n=4，n=5時，滿足題設的數列項數即可．
（2）首先找出一個等差數列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）的首項b₁與公差d'的比值為無理數，則此等差數列滿足題設要求．假設刪去等差數列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）項后，新數列構成等比數列，說明新數列中的連續三項為不滿足題意，然后推出首項，公差d^′=1．相應的等差數列是一個滿足題設要求的數列．
解答：解：首先證明一個“基本事實”
一個等差數列中，若有連續三項成等比數列，則這個數列的公差d=0．
事實上，設這個數列中的連續三項a-d，a，a+d成等比數列，則a²=（a-d）（a+d），由此得，故d=0．
（1）（i）當n=4時，由于數列的公差d≠0，故由“基本事實“推知，刪去的項只可能為a₂或a₃．
①若刪去a₂，則由a₁，a₃，a₄成等比數列，得．
因d≠0，故由上式得a₁=-4d，即．此時數列為-4d，-3d，-2d，-d，滿足題設．
②若刪去a₃，則a₁，a₂，a₄由成等比數列，得．
因d≠0，故由上式得a₁=d，即．此時數列為d，2d，3d，4d滿足題設．
綜上可知的值為-4或1．
（ii）當n≥6時，則從滿足題設的數列a₁，a₂，a₃，…，a_n中刪去任意一項后得到的數列，必有原數列中的連續三項，從而這三項既成等差數列又成等比數列，故由“基本事實”知，數列a₁，a₂，a₃，…，a_n的公差必為0，這與題設矛盾．所以滿足題設的數列的項數n≤5．
又因題設n≥4，故n=4或n=5．
當n=4時，由（i）中的討論知存在滿足題設的數列．
當n=5時，若存在滿足題設的數列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅則由“基本事實”知，刪去的項只能是a₃，從a₁，a₂，a₄，a₅而成等比數列，故，
及．分別化簡上述兩個等式，得及，
故d=0．矛盾．因此，不存在滿足題設的項數為5的等差數列．  綜上可知，n只能為4．
（2）我們證明：若一個等差數列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）的首項b₁與公差d'的比值為無理數，
則此等差數列滿足題設要求．
證明如下：
假設刪去等差數列b₁，b₂，…，b_n（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）項后，
得到的新數列（按原來的順序）構成等比數列，
設此新數列中的連續三項為b₁+m₁d'，b₁+m₂d'，b₁+m₃d'（0≤m₁＜m₂＜m₃≤n-1），于是有，化簡得…（*）
由知，與m₁+m₃-2m₂同時為零或同時不為零．
若m₁+m₃-2m₂=0，且，則有，
即，得m₁=m₃，從而m₁=m₂=m₃，矛盾．
因此，m₁+m₃-2m₂與都不為零，故由（*）式得…（**）
因為m₁，m₂，m₃均為非負整數，所以（**）式右邊是有理數，
而是一個無理數，所以（**）式不成立．這就證明了上述結果．
因是一個無理數．因此，取首項，公差d^′=1．
則相應的等差數列是一個滿足題設要求的數列．
點評：本題以等差數列、等比數列為平臺，主要考查學生的探索與推理能力．利用基本事實，反證法的應用，找出滿足題意的一個數列是解題的難點也是關鍵點，本題屬難題．