Question

已知函數，．
（I）當a=2時，求函數f（x）的單調區間；
（II）若函數F（x）=f（x）-g（x）在區間[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（ III）證明：對任意的n∈N^*成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）a=2，代入f（x），利用導數研究函數的單調性問題；
（II）已知函數F（x）=f（x）-g（x）在區間[1，+∞）上單調遞增，將問題轉化為F′（x）≥0在區間[1，+∞）上恒成立，再利用常數分離法進行證明；
（III）要證明，可以令新的函數f（x）=2^x+1+-x（x+1）ln2-ln2+3，對其進行求導，利用導數研究其導數，利用導數研究其最值，從而求解；
解答：解：（I）a=2，可得，
可得f′（x）==，（x＞0）
若f′（x）＞0，可得x＞，f（x）為增函數；
若f′（x）＜0，可得0＜x＜，f（x）為減函數；
函數f（x）的單調增區間：（，+∞]；
函數f（x）的單調減區間：（0，）；
（II）函數F（x）=f（x）-g（x）=+ax+lnx--3lnx
=+ax-2lnx-
F′（x）=+a-+=≥0，
在區間[1，+∞）上大于等于0，
等價于-1+ax²-2x+a+1≥0，
可得a≥，求y=的最大值即可，
因為y在[1，+∞）上為減函數，所以y≤=1，
∴a≥1；
（ III）令f（x）=2^x+1+-x（x+1）ln2-ln2+3，（x≥1）
可得f′（x）=2^x+1ln2--2xln2-ln2
=ln2（2^x+1--2x-1），
令g（x）=2^x+1--2x-1，
∴g′（x）=2^x+1ln2+-2，x≥1，
可得g′（x）＞g′（1）=4ln2+-2＞0，
g（x）為增函數，g（x）＞g（1）=4-2-1=，
∴f（x）為增函數，
∴f（x）＞f（1）=4+-2ln2+3=-2ln2＞0，
∴，即證；
點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，與函數結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，對于函數取單調區間上的正整數自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．