Question

【題目】定義：對于函數f（x），若在定義域內存在實數x，滿足f（﹣x）=﹣f（x），則稱f（x）為“局部奇函數”．
（1）已知二次函數f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），試判斷f（x）是否為定義域R上的“局部奇函數”？若是，求出滿足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，請說明理由；
（2）若f（x）=2x+m是定義在區間[﹣1，1]上的“局部奇函數”，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）為“局部奇函數”等價于關于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．

當f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R）時，

方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，

所以f（x）為“局部奇函數”

（2）解：當f（x）=2x+m時，f（﹣x）=﹣f（x）可化為2x+2﹣x+2m=0，

因為f（x）的定義域為[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．

令t=2x，t∈[ ，2]，則﹣2m=t+

設g（t）=t+ ，則g'（t）=1﹣ = ，

當t∈（0，1）時，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上為減函數，

當t∈（1，+∞）時，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上為增函數．

所以t∈[ ，2]時，g（t）∈[2， ]．

所以﹣m∈[2， ]，即m∈[﹣ ，﹣1]

【解析】（1）若f（x）為“局部奇函數”，則根據定義驗證條件是否成立即可；（2）利用局部奇函數的定義，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的實數m的取值范圍，可得答案．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減即可以解答此題．