【題目】在平面直角坐標系中，動點
到定點
的距離和它到直線
的距離
之比是常數
，記動點
的軌跡為
.
（1）求軌跡
的方程；
（2）過點
且不與
軸重合的直線
，與軌跡交于
,
兩點，線段
的垂直平分線與
軸交于點
，與軌跡是否存在點
，使得四邊形
為菱形？若存在，請求出直線
的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
；(2)
或
.
【解析】
試題分析：（1）直接根據題設條件列出等式，再進行化簡，即可得到動點
的軌跡
的方程；（2）先假設存在，并設出直線
的方程，聯立直線與橢圓，結合韋達定理得到
中點的坐標，進而表示出點
的坐標，再根據點
在橢圓上，可求出直線的方程.
試題解析：（1）設動點
，
動點
到定點
的距離和它到直線
的距離之比是常數
，
由題意，得
，
化簡整理得
的方程為
.
軌跡
的方程為. ...（3分）
（2）假設存在
滿足條件.依題意設直線
為
，
聯立
，消去
，得
，
令
，
，
則
，
，...（7分）
的中點
的坐標為
.
，
直線
的方程為
，
令
，解得
，即
. ...（9分）
、
關于點對稱，
，
，
解得
，
，即
. ...（11分）
點
在橢圓上，
，
解得
，
，
，
的方程為或. ...（13分）
名師點撥卷系列答案
英才計劃期末調研系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為考察某種藥物預防禽流感的效果，進行動物家禽試驗，調查了100個樣本，統計結果為：服用藥的共有60個樣本，服用藥但患病的仍有20個樣本，沒有服用藥且未患病的有20個樣本.
（1）根據所給樣本數據完成下面2×2列聯表；
（2）請問能有多大把握認為藥物有效？
不得禽流感 | 得禽流感 | 總計 | |
服藥 | |||
不服藥 | |||
總計 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
.
（1）若不經過坐標原點的直線
與圓
相切，且直線
在兩坐標軸上的截距相等，求直線
的方程；
（2）設點
在圓
上，求點
到直線
距離的最大值與最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】性格色彩學創始人樂嘉是江蘇電視臺當紅節目“非誠勿擾”的特約嘉賓，他的點評視角獨特，語言犀利，給觀眾留下了深刻的印象，某報社為了了解觀眾對樂嘉的喜愛程度，隨機調查了觀看了該節目的140名觀眾，得到如下的列聯表：（單位：名）
男 | 女 | 總計 | ||||||
喜愛 | 40 | 60 | 100 | |||||
不喜愛 | 20 | 20 | 40 | |||||
總計 | 60 | 80 | 140 | |||||
p（k2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |||
k0 | 2.705 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | |||
（Ⅰ）從這60名男觀眾中按對樂嘉是否喜愛采取分層抽樣，抽取一個容量為6的樣本，問樣本中喜愛與不喜愛的觀眾各有多少名？
（Ⅱ）根據以上列聯表，問能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為觀眾性別與喜愛樂嘉有關?（精確到0.001）
（Ⅲ）從（Ⅰ）中的6名男性觀眾中隨機選取兩名作跟蹤調查，求選到的兩名觀眾都喜愛樂嘉的概率．
附： 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
，其中
， 
， 
為自然對數的底數.
（Ⅰ）若
和
在區間
內具有相同的單調性，求實數
的取值范圍；
（Ⅱ）若
，且函數
的最小值為
,求
的最小值.
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