Question

【題目】如圖， 是圓柱的母線， 是 的直徑， 是底面圓周上異于 的任意一點， ， .

（1）求證：
（2）當三棱錐 的體積最大時，求 與平面 所成角的大小；
（3） 上是否存在一點 ，使二面角 的平面角為45°？若存在，求出此時 的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 平面 ， 平面
∴ ，又 ，
∴ 平面
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ，
而平面 平面 ，
∴ 平面 ，而 平面 ，
∴
（2）解：設 ，在 中，
∵ 平面 ，
∴ 是三棱錐 的高
因此三棱錐 的體積為


∵ ， ，
∴當 ，即 時，三棱錐 體積的最大值為
此時 為等腰直角三角形，
∴ 與平面 所成角度為45°
（3）解：存在這樣的點 且 ，理由如下：
記 的中點為 ，連接 ，
∵ 為等腰直角三角形
∴ ，由（1）知 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴
∴ 是二面角 的平面角，即
為等腰直角三角形， ，
∴
在 中，
在 和 中，可解得 ，
【解析】（1）根據圓的直徑所對圓周角為直角，以及SA與平面ABC垂直的性質，得到直線BC與平面SAC垂直，證明平面SBC與平面SAC垂直，再利用線面垂直的性質證明結論。
（2）設 AC=x ，用x表示出三棱錐S-ABC的體積，利用二次函數的最值問題，求出結果。
（3）取SB的中點E，分別連接AE，DE，根據AD與平面SBC垂直，AD與SB垂直，證明SB與平面ADE垂直，證明 是二面角 A-SB-C 的平面角，求出結果。