Question

（本題滿分14分）
已知是函數的一個極值點，且函數的圖象在處的切線的斜率為2.
（Ⅰ）求函數的解析式并求單調區間.（5分）
（Ⅱ）設，其中，問：對于任意的,方程在區間上是否存在實數根？若存在，請確定實數根的個數.若不存在，請說明理由.（9分）

Answer 1

（I），單調增區間是，單調減區間是；
（Ⅱ）對于任意的,方程在區間上均有實數根且當時,有唯一的實數解；當時,有兩個實數解。

試題分析：（Ⅰ）由x=0是函數f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個極值點，f^′（0）=0，得到關于a，b的一個方程，函數f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為2e²，f^′（2）=2e²；得到一個關于a，b的一個方程，解方程組求出a，b即可；
（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在區間（-2，m）上是否存在實數根，轉化為求函數g（x）在區間（-2，m）上的單調性、極值、最值問題．
解：（I）………………1分
由……………………2分
又，故………3分
令得或
令得………………4分
故，單調增區間是，單調減區間是……5分.
（Ⅱ）解:假設方程在區間上存在實數根
設是方程的實根，,………………6分
令,從而問題轉化為證明方程=0
在上有實根,并討論解的個數……………………7分
因為，,
所以 ①當時,,所以在上有解,且只有一解.…………………………9分
②當時,,但由于,
所以在上有解,且有兩解 ……………………………10分
③當時,,所以在上有且只有一解；
當時,,
所以在上也有且只有一解…………………………………12分
綜上, 對于任意的,方程在區間上均有實數根且當時,有唯一的實數解；當時,有兩個實數解……14分
點評：解決該試題的關鍵是方程根的個數問題轉化為求函數的最值問題，并能利用導數的幾何意義求解切線方程問題。