Question

【題目】在多面體中，正方形和矩形互相垂直，，分別是和的中點，.

（Ⅰ）求證：平面.

（Ⅱ）在邊所在的直線上存在一點，使得平面，求的長；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由面面垂直的性質可證明線面垂直.

(Ⅱ)建立空間直角坐標系，設，求出平面的一個法向量為，利用方向向量和法向量垂直可得，從而可求出的坐標，進而可求出的長.

(Ⅲ)求直線的方向向量，結合(Ⅱ)的法向量可求出線面角的正弦值.

證明：（I）由于正方形和矩形互相垂直，交線為，

由面面垂直的性質定理可知平面.

（Ⅱ）以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，設，那么

，，，設平面的法向量為，則有，取平面的一個法向量為，

要得平面，則，求得，的長為.

（III），由（2）知平面的一個法向量為，

設直線與平面所成角的大小為，則

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