Question

【題目】設等差數列的前項和為，已知， ．

（1）求；

（2）若從中抽取一個公比為的等比數列，其中，且，

（i）求的通項公式；

（ii）記數列的前項和為，是否存在正整數，使得成等差數列？若存在，求出滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（�。�（ⅱ）存在正整數，且，使得成等差數列。

【解析】

（1）先根據條件列出關于公差與首項的方程組,解得結果代入等差數列通項公式即可.

（2）（i）由題可知，又因為，則，，則可求出，根據等比數列的通項公式即可得出的通項公式；

（ii）根據等比數列的前項和公式得出,又判斷是遞增的,

假設存在正整數且,使得成等差數列,由等差中項可得,代入，可得當且僅當,使得成等差數列．

解：（1）等差數列的公差設為,前項和為,

由，,可得,可得,

；

（2）（i）若從中抽取一個公比為的等比數列,

其中,且,

可得 , ,解得,

,即有；

（ii）數列的前項和,

由,

可得遞增,

假設存在正整數且,使得成等差數列,

可得,即 ,

可得,由,可得,

則,得 ,

故不存在,使得成等差數列；

若顯然符合題意,

綜上可得存在正整數,且,使得成等差數列．