Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為3的菱形，平面.

（1）求證：平面；

（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由已知線面垂直得，結合菱形對角線垂直，可證得線面垂直；

（2）由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，由已知線面垂直知與平面所成角為，這樣可計算出的長，寫出各點坐標，求出平面的法向量，由法向量夾角可得二面角．

證明：（1）因為平面，平面，所以.

因為四邊形是菱形，所以.

又因為，平面，平面，

所以平面.

解：（2）據題設知，兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，

因為與平面所成角為，即，所以

又，所以，

所以

所以

設平面的一個法向量，則令，則.

因為平面，所以為平面的一個法向量，且

所以，

．

所以二面角的正弦值為.