Question

【題目】如圖，橢圓C： 經過點P（1， ），離心率e= ，直線l的方程為x=4．

（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1 ， k2 ， k3 ． 問：是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓C： 經過點P （1， ），可得 ①

由離心率e= 得 = ，即a=2c，則b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=

故橢圓的方程為

（2）解：方法一：由題意可設AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x﹣1）③

代入橢圓方程 并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2= ， ④

在方程③中，令x=4得，M的坐標為（4，3k），

從而 ， ， =k﹣

注意到A，F，B共線，則有k=kAF=kBF，即有 = =k

所以k1+k2= + = + ﹣ （ + ）

=2k﹣ × ⑤

④代入⑤得k1+k2=2k﹣ × =2k﹣1

又k3=k﹣ ，所以k1+k2=2k3

故存在常數λ=2符合題意

方法二：設B（x0，y0）（x0≠1），則直線FB的方程為

令x=4，求得M（4， ）

從而直線PM的斜率為k3= ，

聯立 ，得A（ ， ），

則直線PA的斜率k1= ，直線PB的斜率為k2=

所以k1+k2= + =2× =2k3，

故存在常數λ=2符合題意

【解析】（1）由題意將點P （1， ）代入橢圓的方程，得到 ，再由離心率為e= ，將a，b用c表示出來代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標準方程；（2）方法一：可先設出直線AB的方程為y=k（x﹣1），代入橢圓的方程并整理成關于x的一元二次方程，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用根與系數的關系求得x1+x2= ， ，再求點M的坐標，分別表示出k1 ， k2 ， k3 ． 比較k1+k2=λk3即可求得參數的值；方法二：設B（x0 ， y0）（x0≠1），以之表示出直線FB的方程為 ，由此方程求得M的坐標，再與橢圓方程聯立，求得A的坐標，由此表示出k1 ， k2 ， k3 ． 比較k1+k2=λk3即可求得參數的值
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．