Question

【題目】如圖所示，已知多面體的直觀圖（圖1）和它的三視圖（圖2），

（1）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，并證明你的結論；若不存在，說明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，證明見解析，；（2）.

【解析】

（1）根據三視圖中的線段長度，判斷交點的位置，取靠近的一個三等分點，進行分析證明并求比值；

（2）建立空間直角坐標系，利用平面法向量的余弦值計算出二面角的余弦值.

（1）連接，取靠近點的一個三等分點，連接，

根據三視圖可知，所以，

又因為，所以，所以，

又因為平面，平面，

所以平面，故存在滿足條件且為靠近點的一個三等分點，

此時；

（2）取為空間直角坐標系的軸，建立空間直角坐標系如下圖：

根據三視圖可知：，

設平面的一個法向量，平面的一個法向量，

因為， ，，

所以，取，所以，

所以，取，所以，

所以，

根據立體圖形可知二面角的平面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.