Question

在一條筆直的工藝流水線上有個工作臺，將工藝流水線用如圖所示的數軸表示，各工作臺的坐標分別為，，，，每個工作臺上有若干名工人．現要在流水線上建一個零件供應站，使得各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和最短．

（Ⅰ）若，每個工作臺上只有一名工人，試確定供應站的位置；
（Ⅱ）若，工作臺從左到右的人數依次為，，，，，試確定供應站的位置，并求所有工人到供應站的距離之和的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）設供應站坐標為，根據兩點間距離最短，列出各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為,然后分段討論，去掉絕對值符號，化為分段函數，求函數取最小值滿足的條件即可.（Ⅱ）同（Ⅰ）首先列出各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為 ，然后分段討論，去掉絕對值符號，化為分段函數，求函數取最小值滿足的條件即可.

試題分析：設供應站坐標為，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為．
（Ⅰ）  2分
當時，在區間上是減函數；
當時，在區間上是增函數．
則當時，式取最小值，即供應站的位置為內的任意一點．    分
（Ⅱ）由題設知，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為
．         7分
類似于（Ⅰ）的討論知，，且有
          分
所以，函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，在區間上是常數．故供應站位置位于區間上任意一點時，均能使函數取得最小值，且最小值為．               13分
考點:綜合運用函數知識解決實際問題的能力