Question

【題目】過拋物線C：x2＝4y的準線上任意一點P作拋物線的切線PA，PB，切點分別為A，B，則A點到準線的距離與B點到準線的距離之和的最小值是（ ）

A.7B.6C.5D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

設，A（x1，y1），B（x2，y2），利用導數的幾何意義求出切線AB的方程，點P的坐標代入兩切線方程即可觀察求出直線AB的方程，確定直線AB恒過拋物線焦點可知距離之和為AB，數形結合知當AB為通徑時取最小值2p.

設拋物線C：x2＝4y的準線上任意一點．

點P作拋物線的切線PA，PB，設切點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），

由A，B是拋物線上的點知，

x2＝4y，

所以切線PA的方程為：，

切線PB方程為，

因為點在切線PA，PB上，

所以直線AB的方程為mx＝2（y﹣1）．

故直線AB過定點（0，1），（即AB恒過拋物線焦點），

則A點到準線的距離與B點到準線的距離之和為AB，

數形結合知當AB為通徑時最小，最小值是2p＝4．

故選：D．