Question

【題目】已知點及圓．

（1）若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；

（2）若過點的直線與圓交于、兩點，且，求以為直徑的圓的方程；

（3）若直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）不存在，理由詳見解析.

【解析】

（1）設出直線方程，結合點到直線的距離公式，計算參數，即可得出所求直線方程，注意分斜率存在與否兩種情況討論；

（2）求出點P與圓心C之間的距離，再根據逆用弦長公式求出弦心距d，發現，則點P為MN的中點，故以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，寫出圓的方程即可；

（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關于a的不等式，求出a的范圍，再計算的斜率，求出a的值，即可.

（1）圓的圓心為，半徑，

當的斜率存在時，設直線的斜率為， 則方程為．

依題意得， 解得.

所以直線的方程為，即．

當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件.

（2）由于， 而弦心距， 所以．

所以為的中點．故以為直徑的圓的方程為．

（3）直線，即，

代入圓的方程，消去，整理得．

由于直線交圓于，兩點，

故， 解得．

則實數的取值范圍是．

若存在實數，使得過點的直線垂直平分弦，則圓心必在上．

所以的斜率，而，所以．

由于，故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．