Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（2x）=2f²（x）-1，現給定下列幾個命題：
（1）f（x）≥-1；
（2）f（x）不可能是奇函數；
（3）f（x）不可能是常數函數；
（4）若f（x）=a（a＞1），則不存在常數M，使得f（x）≤M恒成立；
在上述命題中錯誤命題的個數為（ ）個．
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：本題是一個多選題，對抽象表達式f（2x）=2f2（x）-1表達的函數性質進行推斷，應該注意函數f（x）=cosx符合此表達式，易判斷①②③的真假，至于選項④，顯然不是函數f（x）=cosx的性質，應為真命題
解答：解：（1）∵f（x）=f（2×）=2f²（）-1≥-1，故（1）正確
（2）∵f（0）=2f²（0）-1，解得f（0）=1或-，即f（0）≠0，f（x）不可能為奇函數，故（2）正確
（3）若f（x）=1，或f（x）=-，則函數f（x）滿足f（2x）=2f²（x）-1，故（3）錯誤
（4）若f（x）=a（a＞1），則此函數沒有上界，即不存在常數M，使得f（x）≤M成立，故④正確
故選D
點評：本題考查了抽象函數表達式的意義，解題時要能透過現象看到本質，熟練的運用特殊函數，特殊值等方法準確做出判斷