Question

【題目】已知函數，．

(1)若，，求的單凋區間；

(2)若函數是函數的圖像的切線，求的最小值；

(3)求證：．

Answer 1

【答案】(1) 的單調增區間為，單調減區間為區間為；(2) ；(3) 見解析.

【解析】試題分析: (1)先求函數導數，再在定義域內求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定單調區間，（2）先設切點，根據導數幾何意義將 表示成 的函數： ，再利用導數求函數最小值，(3)利用結論，進行放縮 ，轉化證明，這可以構造差函數，利用導數可得其最大值為.

試題解析: (1)時， ，

，，

解得，解得，

∴的單調增區間為，單調減區間為區間為．

(2)設切點坐標為設切點坐標為，

，

切線斜率，又，

∴，∴

令，

，

解得，解得，

∴在上遞減，在上遞增．

∴，∴的最小值為．

(3)法一：令，

由(1)知，∴.

又，∴

∴，（兩個等號不會同時成立）

∴．

法二：令，

顯然在上遞增，，

∴在上有唯一實根，且， ，

∴在上遞減，在上遞增，

∴

∴，