Question

【題目】用數學歸納法證明：12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2=（﹣1）n﹣1 ．

Answer 1

【答案】證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=（﹣1）0 =1， 故：左邊=右邊，
∴當n=1時，等式成立；
②假設n=k時，等式成立，即 12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1k2=（﹣1）k﹣1 ．
那么12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1k2+（﹣1）k（k+1）2
=（﹣1）k﹣1 +（﹣1）k（k+1）2
=（﹣1）k （﹣k+2k+2）
=（﹣1）（k+1）﹣1
即當n=k+1時，等式也成立．
根據①和②可知等式對任何n∈N+都成立
【解析】用數學歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗證當n=n0時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．關鍵是第二步中要充分用上歸納假設的結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數學歸納法的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．