Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣ +cx+d有極值．
（Ⅰ）求實數c的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極值，且當x＜0時，f（x）＜ +2d恒成立，求實數d的取值范圍．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）∵f（x）= x3﹣ x2+cx+d，

∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有極值，則方程f′（x）=x2﹣x+c=0有兩個實數解，

從而△=1﹣4c＞0，

∴c＜ ．

（Ⅱ）∵f（x）在x=2處取得極值，

∴f′（2）=4﹣2+c=0，

∴c=﹣2．

∴f（x）= x3﹣ x2﹣2x+d，

∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），

∴當x∈（﹣∞，﹣1]時，f′（x）＞0，函數單調遞增，當x∈（﹣1，2]時，f′（x）＜0，函數單調遞減．

∴x＜0時，f（x）在x=﹣1處取得最大值 +d，

∵x＜0時，f（x）＜ d2+2d恒成立，

∴ +d＜ d2+2d，即（d+7）（d﹣1）＞0，

∴d＜﹣7或d＞1，

即d的取值范圍是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）

【解析】（1）對f（x）進行求導，要使f（x）有極值，只需要f′（x）=x2﹣x+c=0有兩個實數解，從而轉化為二次函數的根的個數，只需△>0，解出即可得到c的范圍，（2）f（x）在x=2處取得極值，f′（2）=4﹣2+c=0，解出c的值，分析f（x）的單調性，進而分析出當x<0時，函數的最大值，又由當x<0時，f（x）＜ d2+2d恒成立，得出關于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．