Question

【題目】設 .

（1）若直線與和和圖象均相切，求直線的方程；

（2）是否存在使得按某種順序組成等差數列？若存在，這樣的有幾個？若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，有且只有一個.

【解析】試題分析：（1）設切線為，代入中化簡得，則，設切點，則切線為： ，然后可求出，進而求出直線的方程；（2）由（1）可知， 與的圖象分居直線的上下兩側，則，故而，結合題設條件，構造，由導數得出的單調性，進而可得出結論.

試題解析：（1）設切線為，代入中化簡得，則

設與的切點為，則切線為：

整理得

∴，

∴

∴，則，

∴直線的方程為

（2）由（1）可知， 與的圖象分居直線的上下兩側，則

∴

假設存在，使得按某種順序組成等差數列，則必有， ， 成等差數列，即

設，則

∴在上單調遞增

∵，

∴有且僅有一個，使得成立

∴存在，使得按某種順序組成等差數列，并且這樣的有且僅有1個