Question

已知函數，.
（1）當時，求的最小值；
（2）若，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）0；（2）(－∞，0).

試題分析：本題主要考查導數的計算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，對求導，利用“單調遞增，單調遞減”判斷函數的單調性，確定函數最值的位置，并求出函數的最小值；第二問，先將已知不等式進行轉化，將所求的參數分離出來，構造新的函數，利用“單調遞增，單調遞減”判斷函數的單調性，確定函數最值的位置，并求出函數的最值，代入到所轉化的式子中即可.
試題解析：（1）當a＝1時，f(x)＝x²－lnx－x，．
當x∈(0，1)時，f¢(x)＜0；當x∈(1，＋∞)時，f¢(x)＞0．
所以f(x)的最小值為f(1)＝0．          5分
（2）f(x)＞x，即f(x)－x＝x²－lnx－(a＋1)x＞0．
由于x＞0，所以f(x)＞x等價于．      7分
令，則．
當x∈(0，1)時，g¢(x)＜0；當x∈(1，＋∞)時，g¢(x)＞0．
g(x)有最小值g(1)＝1．
故a＋1＜1，a的取值范圍是(－∞，0)．       12分