Question

【題目】已知函數y=x+ 有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數（0， ]上是減函數，在[ ，+∞）上是增函數．
（1）已知f（x）= ，g（x）=﹣x﹣2a，x∈[0，1]，利用上述性質，求函數f（x）的單調區間和值域．
（2）對于（1）中的函數f（x）和函數g（x），若對于任意的x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= =2x+1+ ﹣8，

設u=2x+1，x∈[0，1]，則1≤u≤3，則y=u+ ﹣8，u∈[1，3]，由已知性質得，

當1≤u≤2，即0≤x≤ 時，f（x）單調遞減，所以遞減區間為[0， ]

當2≤u≤3，即 ≤x≤1時，f（x）單調遞增，所以遞增區間為[ ，1]

由f（0）=﹣3，f（ ）=﹣4，f（1）=﹣ ，得f（x）的值域為[﹣4，﹣3]

（2）解：由于g（x）=﹣x﹣2a為減函數，故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]，

由題意，f（x）的值域為g（x）的值域的子集，從而有

所以 a=

【解析】（1）將2x+1看成整體，研究對勾函數的單調性從而求出函數的值域，以及利用復合函數的單調性的性質得到該函數的單調性；（2）對于任意的x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）可轉化成f（x）的值域為g（x）的值域的子集，建立關系式，解之即可．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的性質的相關知識點，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．