Question

【題目】已知橢圓： 過點， 為橢圓的半焦距，且，過點作兩條互相垂直的直線， 與橢圓分別交于另兩點， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的斜率為，求的面積；

（3）若線段的中點在軸上，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）;（2）2;（3）或．

【解析】試題分析：（1）根據條件列出的方程組，結合即可求得橢圓方程；（2）設方程為，整理方程組，由韋達定理求出點坐標，用用代替，得點坐標，把將代入，得， ， 的面積即可求出；（3）設， ，代入橢圓方程整理可得，其中，所以，分和兩種情況，根據，求出的坐標，求得直線方程．

試題解析：（1）因為橢圓： ，過點，

為橢圓的半焦距，且，

所以，且，

所以，解得， ，

所以橢圓方程為．

（2）設方程為，

由整理得，

因為，解得，

當時，用代替，得，

將代入，得， ．

因為，所以， ，

所以的面積為．

（3）設， ，

則兩式相減得，

因為線段的中點在軸上，

所以，從而可得，

若，則，

∵，所以，得．

又因為，所以解得，

所以， 或， ，

所以直線方程為．

若，則，

因為，所以，得，

又因為，所以解得或，

經檢驗： 滿足條件， 不滿足條件．

綜上，直線的方程為或．