Question

【題目】

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F，O分別為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.

(Ⅰ)設G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；

(Ⅱ)證明：在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA，OB的距離.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(1)建立空間直角坐標系，利用題意結合平面的法向量和直線的方向向量可得FG∥平面BOE；

(2)設出點的坐標，利用空間直角坐標系可得點M到OA，OB的距離為.

試題解析：

（Ⅰ）如圖，連接OP，易知OB，OC，OP兩兩垂直，以點O為坐標原點，分別以OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，x軸，建立空間直角坐標系O－xyz，

則O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3).

由題意，得G(0，4，0)

因為＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，

所以平面BOE的一個法向量為n＝(0，3，4).

由＝(－4，4，－3)，得n·＝0，即n⊥.

又直線FG不在平面BOE內，所以FG∥平面BOE.

（Ⅱ）設點M的坐標為(x0，y0，0)，

則＝(x0－4，y0，－3).

所FM⊥平面BOE，所以∥n.

因此x0＝4，y0＝－，即點M的坐標是(4，－，0).

在平面直角坐標系xOy中，△AOB的內部區域可表示為不等式組

經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，所以在△AOB內存在一點M, 使FM⊥平面BOE.由點M的坐標得點M到OA，OB的距離分別為4，.