Question

【題目】設函數，函數，則方程實數解的個數是（ ）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據函數在上單調遞增和在任意區間，上，函數的值為定值得在任意區間，上，方程至多有一個實數解，再分別對時，時，時，求得的解，再運用數學歸納法證明，，時，恒成立，即無解，從而得選項。

由題意知，，，，則時，。

由對數函數性質知函數在上單調遞增，

由，，知：在任意區間，上，函數的值為定值。

則在任意區間，上，方程至多有一個實數解。

①當時，，令，解得,

故此時有唯一解；

②當時，，令，解得,

故此時有唯一解；

③當時，，令，解得，

故此時有唯一解；

④當時，，令，解得,

故此時無解，因為，所以恒成立；

⑤設，，時，恒成立，

而，，時，，

則恒成立等同于恒成立，

當，，時，

，

所以當，，時，則有仍然恒成立。

由④知時，即時，恒成立，

則，，時，恒成立，即無解。

綜上所述，方程的實數根為，以及，共3個。

故選：C。