【題目】已知函數
（其中
是自然對數的底數.）
（1）討論函數
的單調性；
（2）當函數
有兩個零點
， 
時，證明： 
.
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】試題分析：（1）由已知中函數的解析式，求出導函數的解析式，對
進行分類討論，確定
在不同情況下導函數的符號，進而可得函數的單調性．
（2）先求出
，令
，求出
，問題轉化為證明
，構造函數
，通過函數的單調性證明即可．
試題解析：（1）解：因為
，
當
時，令
得
，所以當
時， 
，
當
時， 
，所以函數
在區間
上單調遞減，
在區間
上單調遞增；
當
時， 
恒成立，故此時函數
在
上單調遞增.
（2）證明：當
時，由（1）知函數
單調遞增，不存在兩個零點，所以
，
設函數
的兩個零點為
， 
，且
. 由題意得： 
， 
②-①得： 
令
，則
∴③可化為： 
要證： 
只需證： 
即證： 
構造函數
，則
在
單調遞增，
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，圓
，點
是圓上一動點， 
的垂直平分線與
交于點
.
（1）求點
的軌跡方程；
（2）設點
的軌跡為曲線
，過點
且斜率不為0的直線
與
交于
兩點，點
關于
軸的對稱點為
，證明直線
過定點，并求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司經營一種二手機械，對該型號機械的使用年數
與再銷售價格
（單位：百萬元/臺）進行統計整理，得到如下關系：
使用年數 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
再銷售價格 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 5 |
（1）求關于的回歸直線方程
；
（2）該機械每臺的收購價格為
（百萬元），根據（1）中所求的回歸方程，預測為何值時，此公司銷售一臺該型號二手機械所獲得的利潤
最大？
附：參考公式：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中
，
.若將它們的斜邊
重合，讓三角形
以為軸轉動，則下列說法不正確的是（ ）
A. 當平面
平面
時，
，
兩點間的距離為
B. 當平面平面時，
與平面所成的角為
C. 在三角形轉動過程中，總有
D. 在三角形轉動過程中，三棱錐
的體積最大可達到
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，等腰
的底邊
，高
，點
是線段
上異于點
的動點，點
在
邊上，且
，現沿
將△
折起到△
的位置，使
，記
， 
表示四棱錐
的體積．
(1)求
的表達式；(2)當
為何值時， 
取得最大,并求最大值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f(x)對任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.
(1)求證：f(x)在R上是增函數；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】動圓M與定圓C：x2＋y2＋4x＝0相外切，且與直線l：x－2＝0相切，則動圓M的圓心的軌跡方程為( )
A. y2－12x＋12＝0 B. y2＋12x－12＝0
C. y2＋8x＝0 D. y2－8x＝0
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