Question

【題目】已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C= ，以AB為直徑的⊙O恰與CD相切于點E，⊙O交BC于F，連結EF．

（1）求證：AD+BC=AB；
（2）求證：EF是AD與AB的等比中項．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，

連接OE，∵CD與⊙O相切于點E，

∴OE= AB，

又OE⊥DC，

∠C= ，

∴OE∥BC，且OE= （AD+BC），

∴AD+BC=AB；

（2）證明：∵CD與⊙O相切，

∴CE2=CFCB，

連接AF，則AF⊥BF，

∴AF∥CD，

∴AD=FC，

∴EF2=CE2+CF2

=CFCB+CF2

=CF（CB+CF）

=AD（CB+AD）

=ADAB；

即EF是AD與AB的等比中項

【解析】（1）連接OE，利用圓的直徑與梯形的中位線定理，即可證明結論成立；（2）連接AF，利用勾股定理和切割線定理，結合題意即可求出EF是AD與AB的等比中項．